Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD₁，D₁A₁，A₁A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件    时，就有MN⊥A₁C₁；当N只需满足条件    时，就有MN∥平面B₁D₁C．

Answer

（1）连接EG、EM、GM、BD，利用正方形AA1D1D对边中点连线，得到EG∥AA1，结合AA1⊥平面A1B1C1D1得到EG⊥平面A1B1C1D1，从而A1C1⊥EG．再利用△ABD中的中位线EM∥BD，结合B1D1∥BD，得到EM∥B1D1，再由A1C1⊥B1D1得到A1C1⊥EM，最后利用线面垂直的判定定理得到A1C1⊥平面EGM．因此，当点N在EG上时，直线MN⊂平面EGM，有MN⊥A1C1成立；
（2）连接MH、A1B，再（1）的基础上有EM∥B1D1，结合线面平行的判定定理可得EM∥平面B1D1C，同理可得MH∥平面B1D1C．最后利用平面与平面平行的判定定理，得到平面EHM∥平面B1D1C，所以当点N在EH上时，MN⊂平面EHM，有MN∥平面B1D1C成立．
【解析】
（1）连接EG、EM、GM、BD
∵正方形AA1D1D中，E、G分别为AD、A1D1的中点
∴EG∥AA1
∵AA1⊥平面A1B1C1D1
∴EG⊥平面A1B1C1D1
∵A1C1⊂平面A1B1C1D1
∴A1C1⊥EG
∵在△ABD中，EM是中位线
∴EM∥BD
∵BB1∥DD1且BB1=DD1
∴四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD
∴EM∥B1D1
∵正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1
∴A1C1⊥EM
∵EM∩EG=E，EM、EG⊂平面EGM
∴A1C1⊥平面EGM
因此，当点N在EG上时，直线MN⊂平面EGM，有MN⊥A1C1成立；
（2）连接MH、A1B
根据（1）的证明，EM∥B1D1
∵EM⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，
∴EM∥平面B1D1C
同理可得MH∥平面B1D1C
∵EM∩MH=M，EM、MH⊂平面EHM
∴平面EHM∥平面B1D1C
∴当点N在EH上时，MN⊂平面EHM，有MN∥平面B1D1C成立．
故答案为：点N在EG上，点N在EH上