Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，侧棱与底面垂直，点O是正方形ABCD对角线的交点，AA₁=2AB=4，点E，F分别在CC₁和A₁A上，且CE=A₁F．
（Ⅰ）求证：B₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）若A₁O⊥BE，求CE的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角A₁-BE-O的余弦值．

Answer

（Ⅰ）要证B1F∥平面BDE，由图可通过证明B1F∥DE来证出．取BE1=CE，连接EE1和AE1，先证明四边形AE1ED为平行四边形，再证明四边形B1FAE1为平行四边形得出B1F∥DE．
（Ⅱ）连接OE，通过证明BD⊥平面A1AO，得出BD⊥A1O．结合A1O⊥BE，得A1O⊥平面BDE．得出∠A1OE=90°，即∠A1OA+∠EOC=90°，利用△A1AO∽△OCE，求出CE．
 （Ⅲ）以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用面OBE的一个法向量，
与平面A1BE的一个法向量的夹角来求二面角A1-BE-O的 大小．
【解析】
（Ⅰ）证明：取BE1=CE，连接EE1和AE1
∴EE1=BC，EE1∥BC，BC=AD，BC∥AD，
∴EE1=AD，EE1∥AD．
∴四边形AE1ED为平行四边形，
∴AE1∥DE，
在矩形A1ABB1中，A1F=BE1，
∴四边形B1FAE1为平行四边形．
∴B1F∥AE1，B1F∥DE．
∵DE⊂平面BDE，B1F⊄平面BDE，
∴B1F∥平面BDE．--------（4分）
（Ⅱ）连接OE，
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD，BD⊥AC，
∴BD⊥平面A1AO，
∴BD⊥A1O．
由已知A1O⊥BE，得A1O⊥平面BDE．
∴∠A1OE=90°，∠A1OA+∠EOC=90°，
在△A1AO与△OCE中，∠EOC=∠OA1A，∠ECO=∠OAA1，
∴△A1AO∽△OCE
∴，．---------（9分）
（Ⅲ）以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
．．，
由（Ⅱ）知为平面OBE的一个法向量，
设n=（x，y，z）为平面A1BE的一个法向量，
则  ，即  ，
令z=1，所以 ．
∴，
∵二面角A1-BE-O的平面角为锐角，
∴二面角A1-BE-O的余弦值为．---------（13分）