Question

如图，正方形ABDE与等边△ABC所在平面互相垂直，AB=2，F为BD中点，G为CE中点．
（1）求证：FG∥平面ABC；
（2）求三棱锥F-AEC的体积．

Answer

（1）由题意，可取AC中点H，连GH，BH，证明BFGH为平行四边形，由此得FG∥BH，再由线面平行的判定定理得出线面平行；
（2）由图及题设条件，可先根据（1）的结论得出FG垂直EA，再在三角形FEC中证明FG垂直于EC，由此可得FG即是三棱锥F-AEC底面AEC上的高，又底面AEC的面积易求，由体积公式求值即可
（1）证：取AC中点H，连GH，BH（1分）
∵G为CE中点，∴GH
又F为BD中点，ABDE为正方形，∴BF
∴BFGH为平行四边形∴FG∥BH（6分）
又BH⊂面ABC，FG⊄面ABC∴FG∥平面ABC（8分）
（2）【解析】
∵面ABC⊥面ABDE于AB，EA⊥AB，EA⊂面ABDE
∴EA⊥面ABC，
∴GH⊥面ABC∴GH⊥BH（10分）
又BH⊥AC，AC∩HG=H∴BH⊥面AEC
∴FG⊥面ACE（12分）
∴（14分）