Question

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？

Answer

（1）在△BCD中先利用正弦定理求得BD，和CD的表达式，进而表示出AD，则总路程S与α的关系可得．
（2）对函数S进行求导，令S'=0求得cosα的值，进而根据导函数判断函数的单调性的方法，可推断出当时，当和当函数的单调性和函数的最小值，进而求得总路程最小时AD的长．
【解析】
（1）在△BCD中，∵，
∴，．
则．
，其中．

（2）
令S'=0，得．
当时，S'＜0，S是α的单调减函数；
当时，S'＞0，S是α的单调增函数．
∴当时，S取得最小值．
此时，，
=．