Question

设函数f（x）=ax²+bx+1，a＞0，b∈R 的最小值为-a，f（x）=0两个实根为x₁、x₂．
（1）求x₁-x₂的值；
（2）若关于x的不等式f（x）＜0解集为A，函数f（x）+2x在A上不存在最小值，求a的取值范围；
（3）若-2＜x₁＜0，求b的取值范围．

Answer

（1）由，知，由此能求出x1-x2的值．
（2）设x1＜x2，f（x）+2x=ax2-（a（x1+x2）-2）x+ax1x2，在（x1，x2）不存在最小值，由此能求出a的取值范围．
（3）由，，知．由此能求出b的取值范围．
【解析】
（1）∵
∴
∴x1-x2=±2．（4分）
（2）不妨设x1＜x2；f（x）+2x=ax2-（a（x1+x2）-2）x+ax1x2，在（x1，x2）不存在最小值，
∴或（8分）
又x2-x1=2，a＞0∴0＜a≤1（10分）
（3）∵，
∴（12分）
又-2＜x1＜0
∴x2=x1-2
∴在x1∈（-2，0）上为增函数．
∴（16分）