Question

函数，a＞0，f'（1）=0．
（1）①试用含有a的式子表示b；②求f（x）的单调区间；
（2）对于函数图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点P（x，y）（其中x在x₁与x₂之间），使得点P处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”，当时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B，使得AB存在“中值伴随切线”？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）①先求导函数，再利用f'（1）=0，可用含有a的式子表示b；②求导函数，再利用导数大于0的函数的单调增区间，导数小于0得函数的单调减区间；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），再利用中值伴侣切线的意义结合导数工具，求出g（t）在（1，+∞）上单调递增，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）①
∵f'（1）=0，∴b=a-1．（2分）
②
∵x＞0，a＞0
∴当x＞1时f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）（6分）
（2）不存在   （7分）  （反证法）
若存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设0＜x1＜x2，
则曲线y=f（x）在的切线斜率
又
∴由k=kAB得①（11分）
令，则①化为②
令（t＞1）
∵
∴g（t）在（1，+∞）为增函数   （15分）
又t＞1∴g（t）＞g（1）=2此与②矛盾，
∴不存在         （16分）