Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求二面角B-AB₁-D的正切值．

Answer

（1）由已知中正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1，我们易根据正三角形的性质及棱柱的几何特征，得到AD⊥B1B，及AD⊥BD，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，即可得到平面AB1D⊥平面B1BCC1；
（2）连接A1B，交AB1于E，连DE，由矩形的性质及三角形中位线定理，可得DE∥A1C，再由线面平行的判定定理，即可得到A1C∥平面AB1D；
（3）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG．我们可以得到∠DGF为二面角B-AB1-D的平面角．解三角形DGF，即可求出二面角B-AB1-D的正切值．
【解析】
（1）证明：因为B1B⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
所以AD⊥B1B（1分）
因为D为正△ABC中BC的中点，
所以AD⊥BD（2分）
又B1B∩BC=B，
所以AD⊥平面B1BCC1（3分）
又AD⊂平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1（4分）
（2）连接A1B，交AB1于E，连DE（5分）
因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点（6分）
又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，
所以DE∥A1C（7分）
又DE⊂平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D（8分）
（3）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG．
因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1．
又AB1⊂平面A1ABB1，所以AB1⊥DF．
又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG．（9分）
又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B-AB1-D的平面角．（10分）
因为AA1=AB=1，
所以在正△ABC中，DF=
在△ABC中，FG=BE=（11分）
所以在Rt△DFG中，tan∠DFG==（12分）