Question

已知函数．
（1）若函数f（x）仅有一个极值点x=0，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤0当x∈[-1，1]时恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（1）可以求出函数的导数，利用导数研究知x2+ax+4≥0恒成立，求出a的取值范围即可．
（2）对任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤0当x∈[-1，1]时恒成立，利用函数的单调性．通过求出b的范围．
【解析】
（1）f′（x）=x3+ax2+4x=x（x2+ax+4），（2分）
依题意知x2+ax+4≥0恒成立．    （3分）
故实数a的取值范围是[-4，4]．   （5分）
（2）因为当a∈[-1，1]时，△=a2-16＜0，
所以x2+ax+4＞0．（6分）
于是当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0；（7分）
所以f（x）在[-1，0]为减函数，在[0，1]上为增函数．   （8分）
要使f（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，
只需满足（10分）
即（12分）
故实数b的取值范围是．（14分）