Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁∩B₁C=O，H点为点O在平面D₁DCC₁内的正投影．
（1）求以A为顶点，四边形D₁DCH为底面的四棱锥的体积；
（2）求证：BC₁⊥平面A₁B₁CD；
（3）求直线A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

Answer

1）由正方体的性质可得H为CC1的中点，从而可得CH=HC1=1，由已知容易证明AD⊥平面D1DCC1，分别求出四边形D1DCH的面积及四棱锥的高CD
（2）由四边形BCC1B1是正方形可证，BC1⊥B1C，然后可证A1B1⊥BC1，根据线面垂直的平判定定理可证
（3）由（1）知BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．在RtBA1O中易求角∠BA1O
【解析】
（1）如图，∵点O是正方形BCC1B1的中心∴H为CC1的中点，∴CH=HC1=1
∴∵AD⊥DC，AD⊥DD1，CD∩DD1=D∴AD⊥平面D1DCC1，
故所求四棱锥体积为
=．
（2）由题意四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1∴A1B1⊥平面BCC1B1BC1⊂平面BCC1B1∴A1B1⊥BC1．（8分）
又∵B1C∩A1B1=B1，B1C⊂平面A1B1CD，A1B1⊂平面A1B1CD∴BC1⊥平面A1B1CD．
（3）如图，连A1O，由（1）知BC1⊥平面A1B1CD，O为
垂足，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
在，
所以∴∴∠BA1O=30°．
因此，直线A1B与平面A1B1CD所成的角为30．