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已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3. (1...

manfen5.com 满分网已知椭圆C:manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的离心率为manfen5.com 满分网,短轴一个端点到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C上的动点P引圆O:x2+y2=b2的两条切线PA、PB,A、B分别为切点,试探究椭圆C上是否存在点P,由点P向圆O所引的两条切线互相垂直?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)根据短轴一个端点到右焦点的距离为3求出a,然后根据离心率求出b,最后根据a、b、c关系求出b,从而求出椭圆的标准方程; (2)设P点坐标为(x,y),若∠APB=90°,则有|OA|=|AP|,建立关于x和y的一个方程,然后根据P(x,y)在椭圆上,建立第二个方程,解之即可求出所求. 【解析】 (1)设椭圆的半焦距为c,依题意 ∴b=2,∴所求椭圆方程为 (2)如图,设P点坐标为(x,y), 若∠APB=90°,则有|OA|=|AP|. 即 有 两边平方得x2+y2=8① 又因为P(x,y)在椭圆上,所以4x2+9y2=36② ①,②联立解得 所以满足条件的有以下四组解,,, 所以,椭圆C上存在四个点,,,, 分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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