Question

设f（x）=x³，等差数列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记S_n=，令b_n=a_nS_n，数列的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式和S_n；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）设出等差数列的公差为d，代入到a3=7和a1+a2+a3=12求出a1和d即可求出数列的通项公式，把通项公式代入到Sn=中并根据f（x）=x3得到sn的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=anSn=（3n-2）（3n+1），所以==（-），得到bn的前n项和Tn=（1-）＜得证；
（Ⅲ）由（Ⅱ）分别求出T1，Tm和Tn，因为T1，Tm，Tn成等比数列，所以，分别讨论m和n都为正整数且1＜m＜n即可得到存在并求出此时的m和n的值即可．
【解析】
（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12．
解得a1=1，d=3∴an=3n-2
∵f（x）=x3∴Sn==an+1=3n+1．
（Ⅱ）bn=anSn=（3n-2）（3n+1）
∴∴
（Ⅲ）由（2）知，∴，∵T1，Tm，Tn成等比数列．
∴即
当m=1时，7=，n=1，不合题意；当m=2时，=，n=16，符合题意；
当m=3时，=，n无正整数解；当m=4时，=，n无正整数解；
当m=5时，=，n无正整数解；当m=6时，=，n无正整数解；
当m≥7时，m2-6m-1=（m-3）2-10＞0，则，而，
所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．