Question

若函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d．
（1）当a=d=-1，b=c=0时，若函数f（x）的图象与x轴所有交点的横坐标的和与积分别为m，n．
（i）求证：f（x）的图象与x轴恰有两个交点；
（ii）求证：m²=n-n³．
（2）当a=c，d=1时，设函数f（x）有零点，求a²+b²的最小值．

Answer

（1）（i）先求出函数的导函数，然后根据导数符号确定函数的单调性，再根据，f（-1）＞0，f（2）＞0结合根的存在性定理可证得结论；
（ii）设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则f（x）有因式（x-x1）（x-x2）=x2-mx+n，且可令f（x）=（x2-mx+n）（x2+px+q），于是有（x2-mx+n）（x2+px+q）=x4-x3-1，分别比较该式中常数项和含x3的项的系数，以及含x和x2的项的系数，消去p与q可证得结论；
（2）方程化为，令，方程为t2+at+b-2=0，|t|≥2，即有绝对值不小于2的实根，设g（t）=t2+at+b-2=0（|t|≥2），讨论对称轴与区间[-2，2]的位置关系，然后建立不等关系，解之即可求出所求．
（本题满分16分）
【解析】
（1）（i）当a=d=-1，b=c=0时，f（x）=x4-x3-1
∴f'（x）=4x3-3x2=x2（4x-3），
所以是使f（x）取到最小值的唯一的值，且在区间上，函数f（x）单调递减；
在区间上，函数f（x）单调递增．
因为，f（-1）＞0，f（2）＞0，
所以f（x）的图象与x轴恰有两个交点． …（4分）
（ii）设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则f（x）有因式（x-x1）（x-x2）=x2-mx+n，
且可令f（x）=（x2-mx+n）（x2+px+q）．
于是有（x2-mx+n）（x2+px+q）=x4-x3-1．（*）
分别比较（*）式中常数项和含x3的项的系数，得nq=-1，p-m=-1，
解得，p=m-1．
所以x4-x3-1=．①
分别比较①式中含x和x2的项的系数，得，…②，
，③
②×m+③×n得-n+n3+m2=0，即n-n3=m2．…（10分）
∴m2=n-n3．
（2）方程化为：，
令，方程为t2+at+b-2=0，|t|≥2，即有绝对值不小于2的实根．
设g（t）=t2+at+b-2=0（|t|≥2），
当，即a＞4时，只需△=a2-4b+8≥0，此时，a2+b2≥16；
当，即a＜-4时，只需△=a2-4b+8≥0，此时，a2+b2≥16；
当，即-4≤a≤4时，只需（-2）2-2a+b-2≤0或22+2a+b-2≤0，
即-2a+b+2≤0或2a+b+2≤0，此时．
∴a2+b2的最小值为．…（16分）