Question

甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．
（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；
（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望E（ξ）．

Answer

（1）甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试包括三种情况，这三种情况是互斥的，分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、A2、A3，表示出满足条件的事件，由互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到结果．
（2）分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A，B，C，由题意知变量ξ可能的取值是1、2、3，结合变量对应的事件写出分布列，做出期望．
【解析】
（1）甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试包括三种情况，这三种情况是互斥的，
分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、A2、A3；
E表示事件“恰有一人通过笔试”
由互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到

=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38．
（2）分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A，B，C，
则P（A）=P（B）=P（C）=0.3
由题意知变量ξ可能的取值是0，1、2、3，
结合变量对应的事件写出分布列，
∴P（ξ=0）=0.73=0.343
P（ξ=1）=3×（1-0.3）2×0.3=0.441，
P（ξ=2）=3×0.32×0.7=0.189，
P（ξ=3）=0.33=0.027．
∴E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．