Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，D、E分别是BB₁、CC₁的中点，M是DE的中点．
（1）求证：DE⊥平面AMA₁；
（2）求三棱锥A₁-ADE的体积；
（3）求二面角A-DA₁-E的余弦值．

Answer

（1）以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向，AB的长度为单位长度建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，构造向量，根据向量垂直得到线面垂直．
（2）根据所给的条件先证明线与面垂直，这样就做出这条垂线是要求的三棱锥的高，只要做出对应的底的面积就可以得到体积．
（3）建立坐标系，写出要用的点的坐标，构造向量，设出平面的法向量，求出法向量，根据两个向量所成的角的余弦，确定两个平面的夹角的余弦值，注意观察余弦值的符号．
【解析】
（1）以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向，AB的长度为单位长度建立空间直角坐标系．
由题设知点A，A1，D，E，M的坐标分别为．
∴=（0，0，2），，=
∴=0
∴AA1⊥DE，DE⊥AM，AM∩AA1=A，AM⊂平面AMA1，AA1⊂平面AMA1
∴DE⊥平面AMA1
（2）取AA1的中点F，连DF，EF
∴DF=∥AB=1，EF=∥AC=1∴DF⊥AA1，DF⊥EF
又AA1∩EF=F，AA1⊂平面AA1E，EF⊂平面AA1E
∴DF⊥平面AA1E∴====
（3）以A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向，AB的长度为单位长度建立空间直角坐标系．
由题设知点A，A1，D，C，E的坐标分别为（0，0，0），（0，0，2），（1，0，1），（0，1，0），（0，1，1）．
∴=（0，1，-1），，=（0，1，0）
设平面A1DE的法向量为，取x=1，得．
∵AB⊥AC，AA1⊥AC，
∴AC⊥平面A1DA．
结合图象知二面角A-DA1-E的余弦值是．