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设A是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合: ①; ②an≤M.其中n∈N*...

设A是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合:
manfen5.com 满分网;     ②an≤M.其中n∈N*,M是与n无关的常数.
(Ⅰ)若{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,a3=4,S3=18,证明:{Sn}∈A;
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中数列{an},正整数n1,n2,…,nt…(t∈N*)满足7<n1<n2<…<nt<…(t∈N*),并且使得manfen5.com 满分网成等比数列. 若bm=10m-nm(m∈N*),则{bm}∈A是否成立?若成立,求M的取值范围,若不成立,请说明理由;
(Ⅲ)设数列{cn}的各项均为正整数,且{cn}∈A,证明:cn≤cn+1
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差是d,则a1+2d=4,3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,所以.由此能够证明{Sn}∈A. (Ⅱ)由a1=8,d=-2,知an=8-2(n-1)=10-2n,因此a6=-2,a7=-4.因为成等比数列,故.所以.又,所以nt=2t+1+5.从而bm=10m-2m+1-5.由此能求出M的取值范围. (Ⅲ)假设存在正整数k,使得ck>ck+1成立.由数列{cn}的各项均为正整数,可得ck≥ck+1+1即ck+1≤ck-1.因为,所以ck+2≤2ck+1-ck≤ck-2,由此能够推导出对于任意n∈N*,都有cn≤cn+1成立. 【解析】 (Ⅰ)设等差数列{an}的公差是d, 则a1+2d=4,3a1+3d=18, 解得a1=8,d=-2., 所以. 由, 得 ,适合条件 ①. 又, 所以当n=4或5时,Sn取得最大值20, 即Sn≤20,适合条件 ②. 所以,{Sn}∈A.4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得a1=8,d=-2, 故an=8-2(n-1)=10-2n, 因此a6=-2,a7=-4. 因为成等比数列, 故. 所以. 又,所以nt=2t+1+5. 从而bm=10m-2m+1-5. 因为-[10(m+1)-2m+2-5]=-2m<0, 故. 又b1<b2<b3,并且b3>b4>b5>…, 而b3=10×3-23+1-5=9, 故当m∈N*时,bm≤9. 综上,当m∈N*时,{bm}∈A,此时M的取值范围是[9,+∞).9分 (Ⅲ)假设存在正整数k,使得ck>ck+1成立. 由数列{cn}的各项均为正整数, 可得ck≥ck+1+1,即ck+1≤ck-1. ∵, ∴ck+2≤2ck+1-ck ≤2(ck-1)-ck =ck-2, 由ck+2≤2ck+1-ck及ck>ck+1, 得ck+2<2ck+1-ck+1=ck+1, 故ck+2≤ck+1-1. ∵, ∴ck+3≤2ck+2-ck+1≤2(ck+1-1)-ck+1=ck+1-2≤ck-3, 依此类推,可得ck+m≤ck-m(m∈N*). 设ck=p(p∈N*),则当m=p时,有ck+p≤ck-p=0, 这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾. 所以假设不成立,即对于任意n∈N*,都有cn≤cn+1成立.14分.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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