Question

设A是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：
①；     ②a_n≤M．其中n∈N^*，M是与n无关的常数．
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，证明：{S_n}∈A；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中数列{a_n}，正整数n₁，n₂，…，n_t…（t∈N^*）满足7＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…（t∈N^*），并且使得成等比数列． 若b_m=10m-n_m（m∈N^*），则{b_m}∈A是否成立？若成立，求M的取值范围，若不成立，请说明理由；
（Ⅲ）设数列{c_n}的各项均为正整数，且{c_n}∈A，证明：c_n≤c_n+1．

Answer

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d=-2，所以．由此能够证明{Sn}∈A．
（Ⅱ）由a1=8，d=-2，知an=8-2（n-1）=10-2n，因此a6=-2，a7=-4．因为成等比数列，故．所以．又，所以nt=2t+1+5．从而bm=10m-2m+1-5．由此能求出M的取值范围．
（Ⅲ）假设存在正整数k，使得ck＞ck+1成立．由数列{cn}的各项均为正整数，可得ck≥ck+1+1即ck+1≤ck-1．因为，所以ck+2≤2ck+1-ck≤ck-2，由此能够推导出对于任意n∈N*，都有cn≤cn+1成立．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，
则a1+2d=4，3a1+3d=18，
解得a1=8，d=-2．，
所以．
由，
得 ，适合条件 ①．
又，
所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，
即Sn≤20，适合条件 ②．
所以，{Sn}∈A．4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a1=8，d=-2，
故an=8-2（n-1）=10-2n，
因此a6=-2，a7=-4．
因为成等比数列，
故．
所以．
又，所以nt=2t+1+5．
从而bm=10m-2m+1-5．
因为-[10（m+1）-2m+2-5]=-2m＜0，
故．
又b1＜b2＜b3，并且b3＞b4＞b5＞…，
而b3=10×3-23+1-5=9，
故当m∈N*时，bm≤9．
综上，当m∈N*时，{bm}∈A，此时M的取值范围是[9，+∞）．9分
（Ⅲ）假设存在正整数k，使得ck＞ck+1成立．
由数列{cn}的各项均为正整数，
可得ck≥ck+1+1，即ck+1≤ck-1．
∵，
∴ck+2≤2ck+1-ck
≤2（ck-1）-ck
=ck-2，
由ck+2≤2ck+1-ck及ck＞ck+1，
得ck+2＜2ck+1-ck+1=ck+1，
故ck+2≤ck+1-1．
∵，
∴ck+3≤2ck+2-ck+1≤2（ck+1-1）-ck+1=ck+1-2≤ck-3，
依此类推，可得ck+m≤ck-m（m∈N*）．
设ck=p（p∈N*），则当m=p时，有ck+p≤ck-p=0，
这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾．
所以假设不成立，即对于任意n∈N*，都有cn≤cn+1成立．14分．