Question

如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧面VAD⊥底面ABCD，VA=VD，E为AD的中点．
（Ⅰ）求证：平面VBE⊥平面VBC；
（Ⅱ）当直线VB与平面ABCD所成的角为30°时，求面VBE与面VCD所成锐二面角的大小．

Answer

（Ⅰ）连接BD．证明AD⊥VE，AD⊥BE，通过VE∩BE=E，推出AD⊥平面VBE．利用BC∥AD，BC⊥平面VBE，然后证明平面VBE⊥平面VBC；
（Ⅱ）分别以EB、ED、EV为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出C，D，V的坐标，利用，推出平面VCD的法向量，求出平面VBE的法向量=（0，1，0），利用cos=，求面VBE与面VCD所成锐二面角的大小．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接BD．
由已知，侧面VAD和△ABD，VA=VD，是以AD为公共底边的等腰三角形，
E为AD的中点，∴AD⊥VE，AD⊥BE，
又VE∩BE=E，∴AD⊥平面VBE．
∵BC∥AD，∴BC⊥平面VBE，
又BC⊂平面VBC，
∴平面VBE⊥平面VBC．
（Ⅱ）∵侧面VAD⊥底面ABCD，∴VE⊥底面ABCD，
当直线VB与平面ABCD所成的角为30°，即∠VBE=30°，
由已知，BE=3，BC=，DE=，VE=BEtan30°=．
分别以EB、ED、EV为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（3，，0），D（0，，0），V（0，0，）．
设为平面VCD的法向量，则==0，
∵，，
∴，取，
又=（0，1，0）为平面VBE的法向量，
cos====．
所以面VBE与面VCD所成锐二面角的大小为arccos．