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如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧...

如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2manfen5.com 满分网的菱形,∠BAD=60°,侧面VAD⊥底面ABCD,VA=VD,E为AD的中点.
(Ⅰ)求证:平面VBE⊥平面VBC;
(Ⅱ)当直线VB与平面ABCD所成的角为30°时,求面VBE与面VCD所成锐二面角的大小.
(Ⅰ)连接BD.证明AD⊥VE,AD⊥BE,通过VE∩BE=E,推出AD⊥平面VBE.利用BC∥AD,BC⊥平面VBE,然后证明平面VBE⊥平面VBC; (Ⅱ)分别以EB、ED、EV为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出C,D,V的坐标,利用,推出平面VCD的法向量,求出平面VBE的法向量=(0,1,0),利用cos=,求面VBE与面VCD所成锐二面角的大小. 【解析】 (Ⅰ)证明:连接BD. 由已知,侧面VAD和△ABD,VA=VD,是以AD为公共底边的等腰三角形, E为AD的中点,∴AD⊥VE,AD⊥BE, 又VE∩BE=E,∴AD⊥平面VBE. ∵BC∥AD,∴BC⊥平面VBE, 又BC⊂平面VBC, ∴平面VBE⊥平面VBC. (Ⅱ)∵侧面VAD⊥底面ABCD,∴VE⊥底面ABCD, 当直线VB与平面ABCD所成的角为30°,即∠VBE=30°, 由已知,BE=3,BC=,DE=,VE=BEtan30°=. 分别以EB、ED、EV为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 则C(3,,0),D(0,,0),V(0,0,). 设为平面VCD的法向量,则==0, ∵,, ∴,取, 又=(0,1,0)为平面VBE的法向量, cos====. 所以面VBE与面VCD所成锐二面角的大小为arccos.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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