Question

已知数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，且S_n=2-2a_n，T_n=3-b_n-． 
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）求（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n）．

Answer

（I ）由已知递推公式可求，
当n≥2时，利用an=Sn-Sn-1，bn=Tn-Tn-1，可得，，通过等比数列的通项公式及构造等差数列可求an，bn
（II）由，可考虑利用错位相减可求Wn，结合可求极限
【解析】
（I ）由已知可得S1=a1=2-2a1，
∴，
当n≥2时，Sn=2-2an，Sn-1=2-2an-1
两式相减可得，an=Sn-Sn-1=-2an+2an-1
∴
∴数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列
由等比数列的通项可得，=（3分）
当n≥2，Tn=3-bn-．
两式相减可得，bn=Tn-Tn-1=
∴
∴2nbn-2n-1bn-1=2，2b1=1
∴数列{2nbn}是以以1为首项，已2为公差的等差数列
2nbn=1+2（n-1）=2n-1
∴（6分）
（II）Wn=a1b1+a2b2+…+anbn
则
=
两式相减可得，
==
∴（9分）
当n≥2时，3n=（1+2）n=1+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn＞2Cn1+22Cn2=2n2
∴
∵
∴（12分）