Question

A、B是双曲线-y²=1上两点，M为该双曲线右准线上一点，且=．
（Ⅰ）求||的取值范围（O为坐标原点）；
（Ⅱ）求||的最小值．

Answer

（Ⅰ）由于M为该双曲线右准线上一点，故可得M（，m），由=，知M为AB的中点，进而假设直线方程与双曲线方程联立，利用直线与双曲线有两个不同的交点，可求的参数的范围，进而可确定||的取值范围；
（Ⅱ）利用弦长公式可得||2=（1+k2）（x1-x2）2=（1+k2）=，根据基本不等式有4k2（1-3k2）≤（）2=，从而可求||取得最小值．
【解析】
（Ⅰ）双曲线的右准线方程为x=，记M（，m），并设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由=，知M为AB的中点，则直线AB的斜率k存在，且k≠0，于是直线AB的方程为y=k（x-）+m，
代入双曲线方程，并整理得（1-3k2）x2+3k（3k-2m）x-（3k-2m）2-3=0
因为  1-3k2≠0，x1+x2=3，
所以，∴，
△=9 k2（3k-2m）2+3（1-3k2）[（3k-2m）2-3]=
由△＞0，得 0＜k2＜，所以m2＞．
因为||=，
故||的取值范围为（，+∞）．
（Ⅱ）||2=（1+k2）（x1-x2）2=（1+k2）=
因为4k2（1-3k2）≤（）2=
所以||2≥=48，当且仅当k2=时取“=”号．
故当k=±时，||取得最小值4．