Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+x，（a＞0）
（I）求a的最大值，使函数f（x）在（0，+∞）内是单调函数；
（II）若对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer

（I）由题意可得：f′（x）=，（x＞0）分别讨论当a≤0时与当a＞0时，导数与0的大小，进而得到函数的单调性，即可得到答案．
（II）由f（1）=1-a得，显然a＜1时，f（x）≤0不恒成立．当a≥0时，由f′（x2）=0可得，所以f（x2）=lnx2-，结合题意可得x2≤1，所以f（x）≤f（x2）利用放缩进而得到答案．
【解析】
（I）由题意可得：f′（x）==，（x＞0）
当a≤0时，f′（x）＞0，所以此时f（x）在（0，+∞）内是单调递增．
当a＞0时，方程-2ax2+x+1=0的判别式△=1+8a＞0，此时它有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），
因为x1x2=，所以x1＜0＜x2．
当x∈（0，x2）时，f′（x）＞0；当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（0，+∞）内不是单调函数，
所以a的最大值为0．
（II）由f（1）=1-a可得，当a＜1时，f（x）≤0不恒成立．
当a≥0时，由f′（x2）=0可得，
所以f（x2）=lnx2-ax22+x2=lnx2-+x2=lnx2-，
因为f′（1）=2（1-a）≤0，由（I）可得x2≤1，并且f（x2）是f（x）最大值，
所以f（x）≤f（x2）=lnx2-≤ln1+-=0．
所以a的取值范围为[1，+∞）．