Question

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x（a＜x＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x是它的一个均值点．如y=x⁴是[-1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=-x²+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是    ．

Answer

函数f（x）=-x2+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有-x2+mx+1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．
【解析】
）∵函数f（x）=-x2+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，
∴关于x的方程-x2+mx+1=在（-1，1）内有实数根．
由-x2+mx+1=⇒x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2．
故答案为：0＜m＜2．