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如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,AC∩BD=O,则棱AA1...

如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,AC∩BD=O,则棱AA1与底面ABCD所成的角为60°,A1O⊥平面ABCD,F为DC1的中点.
(1)证明:BD⊥AA1
(2)证明:OF∥平面BCC1B1
(3)求二面角D-AA1-C的余弦值.

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(1)先证出BD与面A1ACC1内的两条相交直线AC,AA1垂直,从而证得BD⊥平面A1ACC1,∴BD⊥AA1 (2)先证出OF∥BC1,再由线面平行的判定定理可证OF∥平面BCC1B1 (3)以O为坐标系的原点,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出平面AA1D的法向量,平面A1ACC1的法向量,通过两法向量的夹角去解. 解(1)因为棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2, 所以四边形ABCD为菱形,BD⊥AC 又A1O⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以A1O⊥BD. 又因为AC∩A1O=O,AC,A1O⊂平面A1ACC1, 所以BD⊥平面A1ACC1, 因为AA1⊂平面A1ACC1 所以BD⊥AA1 (2)连接BC1,因为四边形ABCD为菱形,AC∩BD=O, 所以O是BD的中点 又因为点F为DC1的中点, 所以在△DBC1中,OF∥BC1, 因为OF⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1, 所以OF∥平面BCC1B1 (3)以O为坐标系的原点,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.因为侧棱AA1与底面ABCD所成角为60°,A1O⊥平面ABCD. 所以∠A1AO=60°,在Rt△A1AO中,可得, 在Rt△AOB中,. 设平面AA1D的法向量为. 所以 因为=(-1,0,),. ∴, 可设, 又因为BD⊥平面A1ACC1,所以平面A1ACC1的法向量为,∴ 因为二面角D-AA1-C为锐角, 故二面角D-AA1-C的余弦值是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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