Question

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列A_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{x_n}，其中．
（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）求证：{}是等比数列；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．

Answer

（1）根据点An的坐标表示出斜率kn，代入求得xnxn+1=xn+2整理后即可求得xn与xn+1的关系式；
（2））记，把（1）中求得xn与xn+1的关系式代入可求得an+1=-2an推断数列{an}即：{}是等比数列；
（3）由（2）可求得的表达式，进而求得xn，进而看n为偶数时，求得（-1）n-1xn-1+（-1）nxn=＜，进而可证（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…+（-1）nxn＜1；再看n为奇数时，
前n-1项为偶数项，则可证出：（-1）x1+（-1）2x2++（-1）n-1xn-1+（-1）nxn＜＜1，最后综合原式可证．
【解析】
（1）过C：上一点An（xn，yn）作斜率为kn的直线交C于另一点An+1，
则，
于是有：xnxn+1=xn+2
即：．
（2）记，
则，
因为，
因此数列{}是等比数列．
（3）由（2）知：，．
①当n为偶数时有：（-1）n-1xn-1+（-1）nxn=
=，
于是在n为偶数时有：．
1在n为奇数时，前n-1项为偶数项，
于是有：（-1）x1+（-1）2x2++（-1）n-1xn-1+（-1）nxn．
综合①②可知原不等式得证．