Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．
（1）求棱A₁A的长；
（2）若线段AC与BD交于点E，求证：D₁E∥平面A₁C₁B；
（3）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，指出线段C₁P的长，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）设A1A=h，已知几何体ABCD-A1C1D1的体积为 ，利用等体积法VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1，进行求解．
（2）取A1C1的中点F，连接D1F，要证D1E∥平面A1C1B，只需要证明D1E∥BF，只需证明边形D1FBE为平行四边形，利用条件可证；
（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，推出A1P⊥C1D，证明A1P⊥C1D，推出△D1C1Q∽Rt△C1CD，再根据△C1PQ∽△C1BC，可求线段C1P的长．
 【解析】
（1）设A1A=h，∵几何体ABCD-A1C1D1的体积为 ，
∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=，
即SABCD×h-×S△A1B1C1×h=，
即2×2×h-××2×2×h=，解得h=4．
∴A1A的长为4．
（2）取A1C1的中点F，连接D1F
∵长方体ABCD-A1B1C1D1，
∴AA1∥DD1，且AA1=DD1，DD1∥CC1，DD1=CC1，E是AC的中点．
∴AA1∥CC1，且AA1=CC1
∴四边形AA1C1C为平行四边形，又F是A1C1的中点，E是AC的中点，
∴AA1∥EF，且AA1=EF，
∴DD1∥EF，且DD1=EF，
∴四边形EFD1D为平行四边形
∴D1F∥DE，且D1F=DE，
∴D1F∥EB，且D1F=EB
∴四边形D1FBE为平行四边形，
∴D1E∥BF
∵BF⊂平面A1C1B，D1E⊄平面A1C1B，
∴D1E∥平面A1C1B
（3）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，
过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．
因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，
∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，
又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1，
且A1P⊂平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．
∵Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD，
∴，∴C1Q=1
∵△C1PQ∽△C1BC，
∴，
即，
∴．
∴在线段BC1上存在点P，使直线A1P与C1D垂直，且线段C1P的长为．