Question

已知二次函数f（x）=-2x²+2x，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）试写出一个区间（a，b），使得当a₁∈（a，b）时，数列{a_n}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（2）令，试证明数列{lgb_n+lg2}是等比数列
（3）已知，记S_n=，是否存在非零整数λ，使S_n2ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1对任意的n∈N^*恒成立？如果存在，求出λ的值，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）若数列{an}在某个区间上是递增数列，则an+1-an＞0，即an+1-an=f（an）-an=-2an2+2an-an=-2an2+an＞0⇒an∈（0，）．所以对一切n∈N*，均有an∈（0，）且an+1-an＞0，所以数列{an}在区间（0，）上是递增数列．
（2）由an∈（0，），知），所以．令bn=，则有lgbn+1=2lgbn+lg2，所以lgbn+1+lg2=2（lgbn+lg2），故数列{lgbn+lg2}是lgb1+lg2=lg为首项，公比为2的等比数列．    
（3）由（2）得bn=，所以log3（）．故log3（）=nlog32+2-1，所以2n-1＞（-1）n-1λ恒成立．由此能求出λ的值．
【解析】
（1）若数列{an}在某个区间上是递增数列，
则an+1-an＞0，
即an+1-an=f（an）-an=-2an2+2an-an=-2an2+an＞0，
∴an∈（0，）（2分）
又当an∈（0，），n≥1时，
an+1=f（an）=-2an2+2an=-2an（an-1），
所以对一切n∈N*，均有an∈（0，），
且an+1-an＞0，（3分）
所以数列{an}在区间（0，）上是递增数列．…（4分）
（2）由（1）知an∈（0，），
从而）；
，
即；
令bn=，
则有bn+1=2bn2且bn∈（0，）；
从而有lgbn+1=2lgbn+lg2，（7分）
可得lgbn+1+lg2=2（lgbn+lg2），
所以数列{lgbn+lg2}是lgb1+lg2=lg为首项，公比为2的等比数列． （8分）
（3）由（2）得lgbn+lg2=lg，
即lgbn=lg，
所以 bn=，
所以，
所以log3（，（10分）
所以，log3（）=nlog32+2-1．（11分）
即2n+nlog32-12n+（log32）n-1＞（-1）n-12λ+nlog32-1nlog32-1，
所以，2n-1＞（-1）n-1λ恒成立
当n为奇数时，即λ＜2n-1恒成立，
当且仅当n=1时，2n-1有最小值1为．
∴λ＜1
当n为偶数时，即λ＞-2n-1恒成立，
当且仅当n=2时，有最大值-2为．
∴λ＞-2（13）
所以，对任意n∈N*，有-2＜λ＜1．
又λ非零整数，
∴λ=-1（14分）