Question

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求二面角P-AM-D的大小；
（Ⅲ）求直线PD与平面PAM所成角的正弦值．

Answer

法一：（Ⅰ）取DC的中点N，连接PN，AN，NM．因为PD=PC，所以PN⊥DC．因为PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，所以PN⊥平面ABCD．由此能够证明AM⊥PM．
（Ⅱ）由AM⊥PM且NM⊥AM，知∠PMN为二面角P-AM-D的平面角，由此能求出二面角P-AM-D的大小．
（Ⅲ）设点D到平面PAM的距离为d，由VP-AMD=VD-PAM，求得d=，所以点D到平面PAM的距离为．由此能求出直线PD与平面PAM所成角的正弦值．
法二：（Ⅰ）以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系D-xyz，得D（0，0，0），P（0，1，），C（0，2，0），A（2，0，0），M（，2，0），由=0，得到AM⊥PM．
（Ⅱ）设，且平面PAM，由，得，取，显然平面ABCD，由向量法能得到二面角P-AM-D的大小．
（Ⅲ）  设直线PD与平面PAM所成角为θ，由向量法能求出直线PD与平面PAM所成角的正弦值．
（方法一）
（Ⅰ）证明：取DC的中点N，连接PN，AN，NM．
因为PD=PC，所以PN⊥DC
又因为PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，
所以PN⊥平面ABCD，
所以PN⊥AM．因为AN=3，MN=，AM=，
所以NM⊥AM，
又因为PN∩NM=N，所以AM⊥PM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AM⊥PM且NM⊥AM，
所以∠PMN为二面角P-AM-D的平面角，
又因为PN=NM=，
所以∠PMN=45°．即二面角P-AM-D的大小为45°．
（Ⅲ）设点D到平面PAM的距离为d，
因为VP-AMD=VD-PAM，
所以，
求得d=，即点D到平面PAM的距离为．
设直线PD与平面PAM所成角为θ，
则=，
故直线PD与平面PAM所成角的正弦值为．

（方法二）（Ⅰ） 证明  以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
依题意，可得D（0，0，0），P（0，1，），C（0，2，0），
A（2，0，0），M（，2，0），
∴，
，
∴=-2+2+0=0，
即，∴AM⊥PM．
（Ⅱ）解  设，
且平面PAM，
则，
∴，
，
取，
显然平面ABCD，
∴cos＜＞=．
结合图形可知，二面角P-AM-D为45°．
（Ⅲ）  设直线PD与平面PAM所成角为θ，
则
故直线PD与平面PAM所成角的正弦值为．