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已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0). (Ⅰ)当a=3时,求曲线y=f...

已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0).
(Ⅰ)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e为自然对数的底数).
【解析】 (Ⅰ)先求函数的导函数f'(x),然后求出fˊ(1)即为切线的斜率,根据且点(1,f(1))与斜率可求出切线方程; (Ⅱ)设g(a)=ea-a(a≥0),然后利用导数研究函数的单调性可证得ea>a(a≥0),求出函数的导函数f′(x),然后利用导数研究函数f(x)在区间(1,ea)上的最小值,最后讨论最小值的符号,从而确定函数f(x)的零点情况. 【解析】 (Ⅰ)当a=3时,f(x)=x2-3lnx, ∴f'(x)=2x-(1分) ∴fˊ(1)=-1 又∵f(1)=1, ∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1). 即x+y-2=0.--------------------------------3分 (Ⅱ)(1)下面先证明:ea>a(a≥0). 设g(a)=ea-a(a≥0),则g′(a)=ea-1≥e-1=0(a≥0),且仅当g′(a)=0⇔a=0, 所以g(a)在[0,+∞)上是增函数,故g(a)≥g(0)=1>0. 所以ea-a>0,即ea>a(a≥0).------------------------------5分 (2)因为f(x)=x2-a lnx, 所以f′(x)=2x-==. 因为当0<x<时,fˊ(x)<0,当x>时,1,fˊ(x)>0. 又<a<ea<e2a(a≥0,a<2a)⇒<ea, 所以f(x)在(0,]上是减函数,在[,+∞)是增函数. 所以f(x)min=f()=.------------------------------9分 (3)下面讨论函数f(x)的零点情况. ①当>0,即0<a<2e时,函数f(x)在(1,ea)上无零点; ②当=0,即a=2e时,=,则1<<ea 而f(1)=1>0,f()=0,f(ea)>0, ∴f(x)在(1,ea)上有一个零点; ③当<0,即a>2e时,ea>>>1, 由于f(1)=1>0,f()=<0. f(ea)=e2a-a lnea=e2a-a2=(ea-a)(ea+a)>0, 所以,函数f(x)在(1,ea)上有两个零点.(13分) 综上所述,f(x)在(1,ea)上有结论: 当0<a<2e时,函数f(x)有、无零点; a=2e时,函数f(x)有一个零点; 当a>2e时,函数f(x)有两个零点.------------------------------14分.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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