Question

在平面直角坐标系中，已知向量，，|的最小值为1，）（a为常数，且a＞c，t∈R）．动点P同时满足下列三个条件：
（1）•；
（2）动点P的轨迹C经过点B（0，-1）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量为m=（1，k）（k≠0）的直线l，l与曲线C相交于M、N两点，使|60°？若存在，求出k值，并写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）将|的长度用G的坐标表示成关于x的二次函数，通过求二次函数的最小值求出c的值．利用已知条件及唾液的第二定义判断出曲线C为椭圆，写出椭圆的方程．
（II）将直线方程与椭圆方程联立，消去y得到关于x的二次方程，利用韦达定理，将转化为B在MN的中垂线上得到
m=，根据已知得到△BMN为等边三角形，得到点B到直线MN的距离d与|MN|的关系，利用点到直线的距离公式及弦长公式求出d与|MN|，列出方程求出k的值．
解（1）∵|，
∴

由．
由（1）、（2）可知点P到直线x=，再由椭圆的第二定义可知，点P的轨迹是椭圆，
椭圆C的方程为：．
由（3）可知b=1，
∴a2=b2+c2=1+2=3．
∴椭圆C的方程为．
（2）设直线l的方程为：y=kx+m，设M（x1，y1），N（x2，y2）．
x1+x2=
△=36k2m2-12（m2-1）（1+3k2）=12[3k2-m2+1]＞0    ①
线段MN的中点G（x，y），
x=，
线段MN的垂直平分线的方程为：y-
∵|，
∴线段MN的垂直平分线过B（0，-1）点，
∴-1-，
∴m=②
②代入①，得3k2-（．③
∵|°，
∴△BMN为等边三角形，
∴点B到直线MN的距离d=
|MN|=
=
∴，
解得k2=③式．代入②，得m=．
直线l的方程为：y=