Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且．
（Ⅰ） 求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ） 记c_n=a_n•b_n，求证：c_n+1≤c_n；
（Ⅲ）求数列{c_n}的前n项和．

Answer

（Ⅰ）由已知可得，且a5＞a3，联立方程解得a5，a3，进一步求出数列{an}通项，数列{bn}中，利用递推公式 ，
（Ⅱ）求出数列{cn}的通项公式，作差即可证明结论；
（Ⅲ）用错位相减求数列{cn}的前n和
【解析】
（Ⅰ）∵a3，a5是方程x2-14x+45=0的两根，且数列{an}的公差d＞0，
∴a3=5，a5=9，公差．
∴an=a5+（n-5）d=2n-1．
又当n=1时，有∴
当，∴．
∴数列{bn}是首项，公比等比数列，
∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴．
∴cn+1≤cn；
（Ⅲ），设数列{cn}的前n项和为Tn，∵
（1）∴=   （2 ）        
（1）-（2）得：=
化简得：