Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=，椭圆以A、B为焦点且经过点D．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（Ⅱ）以该椭圆的长轴为直径作圆，判断点C与该圆的位置关系．

Answer

（I）先以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，进而可知A，B的坐标，设椭圆的标准方程，根据AB的距离求得c，把x=c代入椭圆方程，求得 =，进而根据a，b和c的关系求得a和b，则椭圆的方程可得．
（II）以该椭圆的长轴为直径作圆，求出点C到圆心的距离，与a比较即可判断点C与该圆的位置关系．
【解析】
（Ⅰ）如图，以AB所在直线为x轴，
AB中垂线为y轴建立直角坐标系，⇒A（-1，0），B（1，0）．
设椭圆方程为 ．
令 ，
∴．
∴椭圆C的方程是：；
（Ⅱ） 点C到原点的距离为：
|OC|==a
∴点C在圆内．