Question

设函数f（x）=2ax-bx²+lnx．给出下列条件，条件A：f（x）在x=1 和x=处取得极值；条件B：b=a
（Ⅰ）在A条件下，求出实数a，b的值；
（Ⅱ） 在A条件下，对于在[]上的任意x，不等式f（x）-c≤0恒成立，求实数c的最小值；
（Ⅲ） 在B条件下，若f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据题意可得函数的定义域为（0，+∞），然后对函数求导可得，由f（x）在处取得极值，可得f′（1）=0，，代入可求a，b的值
（Ⅱ） 对于在上的任意x，不等式f（x）-c≤0恒成立，只需c≥[f（x）]max
由（I）可得==，结合f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函数f（x）的单调性，进而可确定函数的f（x）在上的极大值，然后通过比较极大值与端点值比较求解函数的最大值，从而可求c的取值范围
（Ⅲ） 当a=b时，可得
由f（x）在（0，+∞）上是单调函数，可得
x＞0，-2ax2+2ax+1≥0或-2ax2+2ax+1≤0在（0，+∞）恒成立，结合函数的知识进行求解
【解析】
（Ⅰ）f（x）=2ax-bx2+lnx，定义域为（0，+∞）
  …（1分）
f（x）在处取得极值，
∴f′（1）=0，…（2分）
即解得此时，
可看出f′（1）=0，f′（2）=0且f′（x）在x=1和两侧均为异号，符合极值条件
∴所求a，b的值分别为…（4分）
（Ⅱ） 对于在上的任意x，不等式f（x）-c≤0恒成立，只需c≥[f（x）]max
由==
∴当时，f′（x）＞0，故f（x）在上是单调递增
当时； f′（x）＜0，故f（x）在上单调递减
当x∈[1，3]时； f′（x）＞0，故f（x）在[1，3]上单调递增
∴是f（x）在上的极大值…（6分）
而=，f（3）=-3-3+32+ln3=ln3＞0…（8分）
∴[f（x）]max=f（3）=ln3
∴c的取值范围为[ln3，+∞），所以c得最小值为ln3…（9分）
（Ⅲ） 当a=b时，
①当a=0时，，则f（x）在（0，+∞）上单调递增…（10分）
②x＞0要使-2ax2+2ax+1≥0在（0，+∞）恒成立
令g（x）=-2ax2+2ax+1，
则，即，解得-2≤a＜0…（12分）
③x＞0要使-2ax2+2ax+1≤0在（0，+∞）恒成立
令g（x）=-2ax2+2ax+1，，即 无解
综上可知a的取值范围为-2≤a≤0…（14分）