Question

设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥n，m⊥α，n⊊α，则n∥α；
②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．
则其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

根据题意，依次分析选项，①、用直线与平面的位置关系判断．②、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．③、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．④、由用长方体中的线线，线面，面面关系验证得到结论．
【解析】
①、在如图所示的长方体中，直线A1A⊥A1B1，A1A⊥平面ABCD，A1B1⊄平面ABCD，则A1B1∥平面ABCD，①正确；
②、用长方体验证．如图，设A1B1为m，平面AC为α，平面A1B为β，显然有m∥α，α⊥β，但得不到m⊥β，不正确；
③、可设A1A为m，平面AC为β，平面A1D或平面B1C为α，满足选项C的条件且得到m∥α或m⊂α，正确；
④、可设A1B1为m，平面A1D为α，A1A为n，平面AC为β，满足选项D的条件且得到α⊥β，正确；
则其中正确命题的个数为3．
故选D