Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，AA₁=3，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面ABM与平面AB₁C₁所夹锐角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）由题意，可以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，给出各点的坐标，由于已知AM⊥BA1．故可由向量的数量积为0证明AM⊥BC，再由线面垂直的判定定理证明AM⊥平面A1BC；
（II）求平面ABM与平面AB1C1所夹锐角的余弦值，可先求出两个平面的法向量，再由公式cosθ=||即可求得所要的结果
证明：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），A1（，0，3），
B1（0，1，3），C1（0，0，3），=（0，1，0），（1分）
设M（0，0，t），则=（，0，t），∴
即AM⊥BC，又因为AM⊥BA1，
所以 AM⊥平面A1BC  （3分）
【解析】
（Ⅱ）=（，-1，3），因为AM⊥BA1，所以=-3+3t=0，得t=1，
即M（0，0，1），，可得平面ABM的一个法向量为=（1，，）  （3分）
又=（-，1，3），=（-，0，3），，设平面AB1C1的一个法向量为=（X，Y，Z），
则且，得Y=0，x=z，，令z=1，得平面平面AB1C1的一个法向量为=（，0，1），（3分）
设平面ABM与平面AB1C1所夹锐角为θ，
则cosθ=||==  （2分）