Question

设椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（a，0），B（0，-b），原点O到直线AB的距离为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=2x+m与椭圆M相交于C、D不同两点，经过线段CD上点E的直线与y轴相交于点P，且有=0，||=||，试求△PCD面积S的最大值．

Answer

（Ⅰ）由得a=．可得直线AB的方程为，于是，由此能够求出椭圆M的方程．
（Ⅱ）设C（x1，y1），D（x2，y2），由方程组，得9x2+8mx+2m2-4=0，所以有，，且△≥0，即m2≤18.=．由，E是线段CD的中点，由此能求出S的最大值．
【解析】
（Ⅰ）由得a=  （2分）
可得直线AB的方程为，于是，
得b=，b2=2，a2=4，所以椭圆M的方程为  （2分）
（Ⅱ）设C（x1，y1），D（x2，y2），由方程组，
得9x2+8mx+2m2-4=0，
所以有，，且△≥0，即m2≤18．（2分）

=
=
=
=．（2分）
因为，
所以，
又，
所以E是线段CD的中点，
点E的坐标为，即E的坐标是，
因此直线PE的方程为y=-，得点P的坐标为（0，-），
所以|PE|=
=．（2分）
因此
=．
所以当m2=9，即m=±3时，S取得最大值，最大值为．