Question

已知椭圆，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

在焦点△F1PF2中，设P（x，y），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率
【解析】
设P（x，y），∵G为△F1PF2的重心，
∴G点坐标为 G（，），
∵，∴IG∥x轴，
∴I的纵坐标为，
在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c
∴=•|F1F2|•|y|
又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，
内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形
∴=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||
∴•|F1F2|•|y|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||
即×2c•|y|=（2a+2c）||，
∴2c=a，
∴椭圆C的离心率e==
故选A