Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD为正方形，E、F分别为AB、PC的中点．
①求证：EF⊥平面PCD；
②求平面PCB与平面PCD的夹角的余弦值．

Answer

①取AD中点为O，连接PO，由面面垂直的性质及等腰三角形的性质，易得PO⊥平面ABCD，故可以以O为原点，建立空间坐标系，设AD=2a，结合侧面PAD是正三角形，底面ABCD为正方形，E、F分别为AB、PC的中点，我们易求出各顶点的坐标，进而求出直线EF，DP，DC的方向向量，由向量数量积为0，则对应的线段垂直，可得EF⊥DP，EF⊥DC，再由线面垂直的判定定理，即可得到答案．
②分别求出平面PCB与平面PCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到平面PCB与平面PCD的夹角的余弦值．
证明：①取AD中点为O，连接PO，∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD
故以OA为x轴
OP为z轴建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）（1分）
设AD=2a，
则A（a，0，0），D（-a，0，0），B（a，2a，0），C（-a，2a，0），
故可求得：E（a，a，0），（3分）
∴，，
∵，
∴，∴平面PCD
∴EF⊥平面PCD（6分）
【解析】
②设平面PBC的一个法向量为，则，
取，则为平面PCD的一个法向量，（9分）
故（11分）
故平面PBC与平面PCD的夹角余弦值为（12分）