Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n∈N^*）
（I）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（II）设b_n=a_n•cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n．

Answer

（I）将Sn=2an+n2-3n-2利用数列中an，Sn的关系进行转化构造出新数列{an-2n}，再据其性质证明．
（Ⅱ）将（I）中所求的an代入bn，分组求和法求和．
【解析】
（I）∵Sn=2an+n2-3n-2①∴Sn+1=2an+1+（n+1）2-3（n+1）-2
两式相减，得an+1=2an+1-2an+2n-2，∴an+1=2an-2n+2
故an+1-2（n+1）=2（an-2n），又在①式中令n=1得a1=4，∴a1-2≠0∴，
∴{an-2n}为等比数列                  
（II）由（I）知：an-2n=2•2n-1，∴an=2n+2n且cosnπ=（-1）n
当n为偶数时，设n=2k（k∈N*）
则Pn=b1+b2+…+bn=（b1+b3+…+b2k-1）+（b2+b4+…+b2k）={-（2+2×1）-（23+2×3）-…-[22k-1+2（2k-1）]}+[（22+2×2）+（24+2×4）+…+（22k+2k）]=-（2+23+…+22k-1）-2[1+3+…+（2k-1）]+（22+24+…+22k）+2（2+4+…+2k）=-（2-22+23-24+…+22k-1-22k）+2[-1+2-3+4-…-（2k-1）+2k]==
当n为奇数时，设n=2k-1（k∈N*），同理可得==
综上所述，