Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），且a₁=2，a₂=1
（I）求k的值和S_n的表达式；
（II）是否存在正整数m，n，使成立？若存在，则求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由题设条件Sn+1=kSn+2（n∈N*），且a1=2，a2=1，利用S2=kS1+2，建立方程求出k，再利用an=Sn-Sn-1，研究数列的性质，根据数列的性质得出Sn的表达式；
（II）假设存在正整数m，n，使成立，由不等式进行等价转化，得出正整数m，n满足的条件，若能解出正整数m，n的值，则说明假设成立，否则说明不存在正整数m，n，使成立．
【解析】
（I）∵S2=kS1+2，∴a1+a2=ka1+2又a1=2，a2=1，2+1=2k+2，∴…（2分）
∴①当n≥2时，②①-②，得
又，由a1=2≠0可得an≠0（n∈N*），∴
于是{an}是等比数列，其首项为a1=2，公比为，所以…（6分）
（II）不等式，即．，整理得，
令t=2n（4-m），则不等式变为，解之得2＜t＜6即2＜2n（4-m）＜6…（8分）
假设存在正整数m，n使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4-m为整数，
则只能是2n（4-m）=4∴
因此，存在正整数．…（12分）