Question

数列{a_n} 中，a₁=，前n项和S_n满足Sn+1-Sn=（n∈N^*）．
（1）求数列数列{a_n} 的通项公式a_n，以及前n项和S_n；
（2）b_n=，求数列{a_n•b_n} 的前n项的和T_n．

Answer

（1）分析题意可知是由sn求an故需利用an与sn的关系：当n≥2时，an=sn-sn-1来求解同时需验证a1=1是否也满足上式．当an求出后分析它的特征然后决定采用什么方法求前n项和．
（2）由bn=，根据（1）数列{an} 的通项公式an，可求出数列{an•bn} 的通项公式，进而求出数列{an•bn} 的前n项的和Tn．
【解析】
（1）∵Sn满足Sn+1-Sn=（n∈N*）．
∴an=（n∈N*）．
an=（n≥2，n∈N*）．
又∵n=1时，a1=，
∴an=（n∈N*）．
∴Sn=1-（n∈N*）．
（2）由（1）中an=（n∈N*）．
∴bn==n
∴an•bn=n•（n∈N*）
∴Tn=1•+2•2+3•3+…+n•③
2Tn=1•+2•1+3•2+…+n•④
由③-④得：
-Tn=-1-（1+2+…+）+n•=-2+（n+2）
∴Tn=2-（n+2）