Question

已知函数f（x）=x³+6x²+15|x|
（1）求f（x）在x=1处的切线方程．
（2）求f（x）在[-1，a]上的最小值．

Answer

（1）先去绝对值，然后求出切点坐标，求在x=1处的导数值得到切线的斜率，最后根据点斜式直线方程可求出所求；
（2）先将函数写出分段函数，然后求出导函数，令f'（x）=0得x=-5，-5与0将区间分成三段，研究导数符号，得到函数的单调性，从而求出函数在[-1，a]上的最小值．
【解析】
（1）x＞0时，f（x）=x3+6x2+15x，f（1）=22
∴f'（x）=3x2+12x+15，f'（1）=30
∴f（x）在x=1处的切线方程为y=30（x-1）+22即y=30x-8．（ 7分）
（2）f（x）=，f'（x）=
令f'（x）=0，x=-5，函数单调性变化情况如下表

x （-∞，-5） -5 （-5，0） （0，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增

由表知当-1＜a≤0，f（x）min=f（a）=a3+6a2+15a；
当a＞0，f（x）min=f（0）=0．                （ 15分）