Question

已知抛物线y=ax²（a＞0），直线l₁、l₂都过点P（1，-2）且都与抛物线相切．
（1）若l₁⊥l₂，求a的值．
（2）直线l₁、l₂与分别与x轴相交于A、B两点，求△PAB面积S的取值范围．

Answer

（1）由题意直线l1，l2的斜率分别设为k1，k2，过点P（1，-2）的直线设为y=k（x-1）-2，由，得ax2-kx+k+2=0，由直线l1、l2都过点P（1，-2）且都与抛物线相切，知，再由l1⊥l2，能求出a的值．
（2）l1的方程是：y=k1（x-1）-2，令y=0，得．l2的方程：y=k2（x-1）-2，令y=0，得.=．由此能求出△PAB面积S的取值范围．
【解析】
（1）由题意直线l1，l2的斜率存在且不为0，
分别设为k1，k2，
过点P（1，-2）的直线设为y=k（x-1）-2，
由，得ax2-kx+k+2=0，
∵直线l1、l2都过点P（1，-2）且都与抛物线相切，
∴，
∴k1+k2=4a，k1k2=-8a．
∵l1⊥l2，
∴k1k2=-8a=-1，
∴．
（2）l1的方程是：y=k1（x-1）-2，令y=0，得．
l2的方程：y=k2（x-1）-2，令y=0，得．
∴
=
=
=
=
=．
∴
=，
∵a＞0，
∴S△ABP＞1．