Question

如图所示，f（x）是定义在区间[-c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：
①对于[-c，c]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立；
②若b=0，则函数g（x）是奇函数；
③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根；
④若a＞0，则g（x）与f（x）有相同的单调性．
其中正确的是（ ）

A．②③
B．①④
C．①③
D．②④

Answer

①对于[-c，c]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立，可根据函数的单调性来进行判断；
②若b=0，则函数g（x）是奇函数，由函数解析式的形式判断即可；
③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根，由函数的图象及参数的取值范围进行判断；
④若a＞0，则g（x）与f（x）有相同的单调性，由函数的图象进行判断．
【解析】
①对于[-c，c]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立，由函数的图象可以看出，函数不是单调增函数，故命题不正确；
②若b=0，则函数g（x）是奇函数，此命题正确，b=0时，g（x）=af（x）是一个奇函数；
③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根，本题中没有具体限定b的范围，故无法判断g（x）=0有几个根；
④若a＞0，则g（x）与f（x）有相同的单调性，此命题正确，一个函数乘上一个正数再加上一个数，单调性不改变．
综上②④正确
故选D．