Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O．
（Ⅰ）求证：SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）已知E为侧棱SC上一个动点．试问对于SC上任意一点E，平面BDE与平面SAC是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）通过证明SO⊥AC，SO⊥BD，AC∩BD=O，即可证明SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，说明SO⊥BD．然后证明AC⊥BD．利用AC∩SO=O，推出BD⊥面SAC．再证明平面BDE⊥平面SAC
证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是正方形，AC∩BD=O，
所以O是AC，BD中点．
由已知，SA=SC，SB=SD，
所以SO⊥AC，SO⊥BD，
又AC∩BD=O，
所以SO⊥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）对于SC上任意一点E，平面BDE⊥平面SAC．
证明如下：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，
而BD⊂面ABCD，所以SO⊥BD．
又因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
因为AC∩SO=O，所以BD⊥面SAC．
又因为BD⊂面BDE，所以平面BDE⊥平面SAC．…（13分）