Question

已知函数，a∈R，且a≥0．
（Ⅰ）若f'（2）=1，求a的值；
（Ⅱ）当a=0时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer

（Ⅰ）求出函数导数，根据f'（2）=1，即可得到a的值．
（Ⅱ）当a=0时，求函数f（x）的导数，令导数等于0，解得极值点，再借助函数在定义域上的单调性，判断极值点处取得最大值．
（Ⅲ）求出函数的导数，令导数大于0，解得函数的增区间，令导数小于0，解得函数的减区间．因为函数中含有参数，注意对参数讨论．
【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），．
由f'（2）=1，解得．
（Ⅱ）由f（x）=lnx-x，得．
由，解得0＜x＜1；由，解得x＞1．
所以函数f（x）在区间（0，1）递增，（1，+∞）递减．
因为x=1是f（x）在（0，+∞）上唯一一个极值点，
故当x=1时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（1）=-1．
（Ⅲ）因为
（1）当a=0时，．令解得0＜x＜1
（2）a＞0时，
令，解得或x=1．
（ⅰ）当即0＜a＜1时，
由，及x＞0得 ax2-（a+1）x+1＞0，
解得0＜x＜1，或；
（ⅱ）当即a=1时，
因为x＞0，恒成立．
（ⅲ）当即a＞1时，由，及x＞0得 ax2-（a+1）x+1＞0，
解得，或x＞1；
综上所述，
当a=0时，函数f（x）的递增区间是（0，1）；
当0＜a＜1时，函数f（x）的递增区间是（0，1），；
当a=1时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＞1时，函数f（x）的递增区间是，（1，+∞）．