Question

椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）的两个焦点分别是F₁、F₂，等边三角形的边AF₁、AF₂与该椭圆分别相交于B、C两点，且2|BC|=|F₁F₂|，则该椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由△A为正三角形可得∠AF1F2=∠A=60°，则可求直线AF1，AF2的斜率，进而可求所在的直线方程，其交点，而AF1中点B在椭圆上，代入椭圆的方程，结合b2=a2-c2及0＜e＜1可求该椭圆的离心率．
【解析】
由△AF1F2为正三角形可得∠AF1F2=∠AF2F1=60°
则直线AF1，AF2的斜率分别为 ，-
则直线AF1，AF2所在的直线方程分别为y=，y=，
其交点A（0，c），由于2|BC|=|F1F2|，得BC是三角形的中位线，得B是AF1的中点，
从而AF1中点B（ ，）在椭圆上，代入椭圆的方程可得
整理可得，c2（a2-c2）+3c2a2=4a2（a2-c2）
∴4a4-8a2c2+c4=0
两边同时除以a4可得，e4-8e2+4=0
∵0＜e＜1
∴，（舍）
∴
故选C．