Question

设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f'（x），且对任意正数x均有，
（1）判断函数在（0，+∞）上的单调性；
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），比较f（x₁）+f（x₂）与f（x₁+x₂）的大小，并证明你的结论；
（3）设x₁，x₂，…x_n∈（0，+∞），若n≥2，比较f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）与f（x₁+x₂+…+x_n）的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）通过推出，说明F′（x）=，即可得到在（0，+∞）上是增函数．
（2）设x1，x2∈（0，+∞），0＜x1＜x1+x2，而在（0，+∞）上是增函数，推出，
然后推出 f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．即可．
（3）法一：类似（2）的方法通过函数的单调性证明：设1，x2，…xn∈（0，+∞），f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）
法二：利用数学归纳法，利用（2）的验证n=2时猜想成立，然后假设n=k时猜想成立，然后证明n=k+1时猜想也成立即可．
【解析】
（1）由于得，，而x＞0，
则xf′（x）-f（x）＞0，
则F′（x）=，因此在（0，+∞）上是增函数．
（2）由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2，而在（0，+∞）上是增函数，则F（x1）＜F（x1+x2），即，
∴（x1+x2）f（x1）＜x1f（x1+x2）（1），同理 （x1+x2）f（x2）＜x2f（x1+x2）（2）
（1）+（2）得：（x1+x2）[f（x1）+f（x2）]＜（x1+x2）f（x1+x2），而x1+x2＞0，
因此 f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．
（3）证法1：由于x1，x2∈（0，+∞），则0＜x1＜x1+x2+…+xn，而在（0，+∞）上是增函数，则F（x1）＜F（x1+x2+…+xn），
即，
∴（x1+x2+…+xn）f（x1）＞x1f（x1+x2+…+xn）
同理 （x1+x2+…+xn）f（x2）＞x2f（x1+x2+…+xn）…（x1+x2+…+xn）f（xn）＞xnf（x1+x2+…+xn）
以上n个不等式相加得：（x1+x2+…+xn）[f（x1）+f（x2）+…f（xn）]＞（x1+x2+…+xn）f（x1+x2+…+xn）
而x1+x2+…+xn＞0，f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）．
证法2：数学归纳法
①当n=2时，由（2）知，不等式成立；
②当n=k（n≥2）时，不等式f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）成立，
即f（x1）+f（x2）+…f（xk）＞f（x1+x2+…+xk）成立，
则当n=k+1时，f（x1）+f（x2）+…f（xk）+f（xk+1）＞f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）
再由（2）的结论，f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）＞f[（x1+x2+…+xk）+xk+1]f（x1+x2+…+xk）+f（xk+1）＞f（x1+x2+…+xk+xk+1）
因此不等式f（x1）+f（x2）+…f（xn）＞f（x1+x2+…+xn）对任意n≥2的自然数均成立