Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，，过A作AE⊥CD，垂足为E．G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使二面角D-AE-C的平面角为135°．
（Ⅰ）求证：FG∥平面BCD； 
（Ⅱ）求异面直线GF与BD所成角的余弦值； 
（Ⅲ）求二面角A-BD-C的大小．

Answer

（I）取AB中点H，连接GH，FH，利用三角形中位线定理，我们易判断GH∥BD，FH∥BC，进而根据面面平行的判定定理，得到面FHG∥面BCD，结合面面平行的性质，即可得到结论．
（Ⅱ）延长CE，过D作DO垂直于直线CE的延长线于O，可得：DO⊥平面ABCE，根据题意可得：DEO=45°，再过O作OM⊥OC，进而建立空间直角坐标系利用空间向量的有关知识求出线线角．
（Ⅲ）分别求出两个平面的法向量，利用空间向量的有关知识求出两个向量的夹角，进而转化为两个平面的平面角．
【解析】
（Ⅰ）取AB中点为H，连接GH，FH，又G为AD的中点，
∴GH∥BD．
又因为GH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴GH∥平面BCD
同理可证FH∥BC，FH∥平面BCD，
所以面FHG∥面BCD，
又∵GF⊂平面FGH，
∴FG∥平面BCD…（3分）
（Ⅱ）延长CE，过D作DO垂直于直线CE的延长线于O，易证DO⊥平面ABCE
又∵AE⊥EC，AE⊥DE，二面角D-AE-C的平面角为135°
∴∠DEO=45°∵
∴OE=1，DO=1
过O作OM⊥OC，
所以以O为原点，以OM，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的直角坐标系．

则D（0，0，1），A（2，1，0），E（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），，，，
所以，，
所以
所以异面直线GF与BD所成的角的余弦值为…（8分）
（Ⅲ）
设平面ABD的法向量为，
则，即
∴取
设平面BDC的法向量为，
则，即
∴
∴
∴二面角A-BD-C大小为．…（12分）