Question

对于各项均为整数的数列{a_n}，如果满足a_i+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{a_n}具有“P性质”；
不论数列{a_n}是否具有“P性质”，如果存在与{a_n}不是同一数列的{b_n}，且{b_n}同时满足下面两个条件：①b₁，b₂，b₃，…，b_n是a₁，a₂，a₃，…，a_n的一个排列；②数列{b_n}具有“P性质”，则称数列{a_n}具有“变换P性质”．
（Ⅰ）设数列{a_n}的前n项和，证明数列{a_n}具有“P性质”；
（Ⅱ）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{b_n}，不具此性质的说明理由；
（Ⅲ）对于有限项数列A：1，2，3，…，n，某人已经验证当n∈[12，m²]（m≥5）时，数列A具有“变换P性质”，试证明：当n∈[m²+1，（m+1）²]时，数列A也具有“变换P性质”．

Answer

（Ⅰ）由题意知an=n2-n（n∈N*）．所以ai+i=i2（i=1，2，3，）是完全平方数，数列{an}具有“P性质”．
（Ⅱ）由题设条件知：数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，数列{bn}为3，2，1，5，4．数列1，2，3，，11不具有“变换P性质”．以数列1，2，3，，11不具有“变换P性质”．
（Ⅲ）设n=m2+j，1≤j≤2m+1，令h=4m+4-j-1，则h∈[12，m2]．由此可知当n∈[m2+1，（m+1）2]时，数列A也具有“变换P性质”．
【解析】
（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1（1分）=，（2分）
又a1=0，所以an=n2-n（n∈N*）．（3分）
所以ai+i=i2（i=1，2，3，）是完全平方数，数列{an}具有“P性质”．（4分）
（Ⅱ）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，（5分）
数列{bn}为3，2，1，5，4．（6分）
数列1，2，3，，11不具有“变换P性质”．（7分）
因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，
所以数列1，2，3，，11不具有“变换P性质”．（8分）
（Ⅲ）设n=m2+j，1≤j≤2m+1，
注意到（m+2）2-（m2+j）=4m+4-j，
令h=4m+4-j-1，
由于1≤j≤2m+1，m≥5，所以h=4m+4-j-1≥2m+2≥12，
又m2-h=m2-4m-4+j+1≥m2-4m-2，m2-4m-2=（m-2）2-6＞0，
所以h＜m2，
即h∈[12，m2]．（10分）
因为当n∈[12，m2]（m≥5）时，数列{an}具有“变换P性质”，
所以1，2，，4m+4-j-1可以排列成a1，a2，a3，，ah，使得ai+i（i=1，2，，h）都是平方数；（11分）
另外，4m+4-j，4m+4-j+1，，m2+j可以按相反顺序排列，即排列为m2+j，，4m+4-j+1，4m+4-j，
使得（4m+4-j）+（m2+j）=（m+2）2，（4m+4-j+1）+（m2+j-1）=（m+2）2，，（12分）
所以1，2，，4m+4-j-1，4m+4-j，，m2-1+j，m2+j
可以排成a1，a2，a3，，ah，m2+j，，4m+4-j满足ai+i（i=1，2，，m2+j）都是平方数．（13分）