Question

若数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，…是公差不为零的等差数列，且a_n＞0，则下列四个数列
①lga₁，lga₂，…，lga_n，…；
②；
③a₁a₂，a₂a₃，…，a_na_n+1，…；
④a₁+a₂，a₂+a₃，…，a_n+a_n+1，…．
其中一定是等比数列的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

①中利用对数的运算法则以及题设中的等差数列求得为常数判断出数列为等比数列；令an=n代入②③④中推断出均不是等比数列．
【解析】
①=lg（an+1-an）
∵数列{an}为等差数列，
∴an+1-an为常数
∴为常数，即lga1，lga2，…，lgan，…为等比数列
②因为数列a1，a2，a3，…，an，…是公差不为零的等差数列，且an＞0，
所以=2d是常数，所以是等比数列，正确．
③令an=n，a1a2，a2a3，…，anan+1，…为1×2，2×3，3×4…不是等比数列．
④令an=n，a1+a2，a2+a3，…，an+an+1，…．为1+2，2+3，3+4不为等比数列，
故等比数列的个数为1
故选C．