Question

设数列{a_n}的前项和为S_n，且对任意正整数，a_n+S_n=4096，（注：1024=2¹⁰，2048=2¹¹，4096=2¹²）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{log₂a_n}的前项和为T_n，对数列{T_n}，从第几项起T_n≤-165？

Answer

（1）由an+Sn=4096，知a1+S1=4096，a1=2048．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an-1-an，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由log2an=log2[2048（）n-1]=12-n，知Tn=（-n2+23n）．由此能求出从第几项起Tn≤-165．
【解析】
（1）∵an+Sn=4096，
∴a1+S1=4096，
a1=2048．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（4096-an）-（4096-an-1）=an-1-an
∴=，
∴an=2048（）n-1．
（2）∵log2an=log2[2048（）n-1]=12-n，
∴Tn=（-n2+23n）．
由Tn≤-165，
解得n≥33，
故从第33项起，Tn≤-165．