Question

已知抛物线C：y=2x²，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作轴的垂线交C于点N．  
（1）求三角形OAB面积的最小值；
（2）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（3）是否存在实数k使NANB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）要求三角形OAB面积的最小值，先表示出面积（d为O到直线AB的距离），结合函数的性质可求可求
（2）要证明抛物线C在点N处的切线与AB平行，只要证明切线的斜率与直线AB得斜率相等
（法一）：把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0，由韦达定理可求N点的坐标为．可设在点N处的切线l的方程为y-，将y=2x2代入整理，由直线l与抛物线C相切，可得△=0
（法二）：把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0．由韦达定理可求N点坐标，利用导数可求抛物线在点N处的切线l的斜率
（3）（法一）假设存在实数k，使=0，则NA⊥NB，结合已知M是AB的中点，可得|MN|=|AB|，结合方程的根与系数的关系及弦长公式代入可求k
（法二）假设存在实数k，使=0结合方程的根与系数的关系代入可求k
【解析】
（1）设A（x1，y1）B（x2，y2），O到直线AB的距离为d=
联立方程整理可得2x2-kx-2=0
则
∴AB==
==
面积S的最小值为2
解法一：（2）如图，设A（x1，2x12），B（x2，2x22），
把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0，
由韦达定理得x1+x2=，x1x2=-1，xN=xM=，
N点的坐标为．
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-，
将y=2x2代入上式得2x2-mx+=0，
直线l与抛物线C相切，∴=0，
∴m=k．即l∥AB．
（2）假设存在实数k，使=0，则NA⊥NB，又∵M是AB的中点，∴|MN|=|AB|．
由（Ⅰ）知yM==+2
∵MN⊥轴，∴|MN|=|yM-yN|=．
又|AB|=
=．
∴，解得k=±2．  
即存在k=±2，使=0．
解法二：（1）如图，设A（x1，2x12），B（x2，2x22），
把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0．
由韦达定理得x1+x2==-1．xN=xM=，
N点的坐标为．∵y=2x2，∴y'=4x，
抛物线在点N处的切线l的斜率为4×=k，∴l∥AB．
（2）假设存在实数k，使=0．
由（1）知，则
=
=
=
=
==0，
∵-1-＜0，∴-3+=0，解得k=±2．
即存在k=±2，使=0．